UAA 5 & 6 (Partie I) – Physique (SCG)

En vue de déterminer la charge de l’électron, Millikan pulvérisa des gouttelettes microscopiques d’huile électrisées dans un champ électrique uniforme dirigé vers le bas[1]. Le champ électrique était produit par deux grands conducteurs plans parallèles l’un à l’autre, dont il fallait ajuster la tension électrique de telle manière à agir sur le mouvement des gouttelettes. Un microscope permet de repérer les gouttelettes dont la vitesse est constante et d’en mesurer la valeur.

Dans l’expérience de Millikan, chaque gouttelette en mouvement subit plusieurs forces :

• son poids, qui dépend de son diamètre,
• la force électrostatique, qui dépend de sa charge électrique et du champ électrique régnant entre les deux plaques (qui dépend lui-même de la tension et de la distance entre elles),
• la poussée d’Archimède dans l’air ambiant, qui dépend aussi du diamètre de la gouttelette,
• la force de frottement aérodynamique (qui dépend en première approximation du diamètre de la gouttelette et de sa vitesse.

Lorsque la gouttelette observée se déplace à vitesse constante, la condition d’équilibre de translation implique que les quatre forces qu’elle subit ont une résultante nulle. De plus, lorsque la gouttelette est au repos, la force de frottement aérodynamique est nulle, et ce sont les trois premières forces dont la résultante est nulle.

Millikan observa que les gouttelettes, selon leurs charges, avaient des vitesses deux, trois, quatre… fois plus grandes que la vitesse minimale observée. Il en déduisit les valeurs de leur charge électrique, qui étaient toutes multiples de la charge élémentaire e =1,6.10^-19 C.

Si la force résultante s’exerçant sur une particule chargée n’est pas nulle, celle-ci change d’état de mouvement : les situations rencontrées dans ce cas seront analysées dans les parties sur la dynamique des mouvements rectilignes et les mouvements curvilignes, après la partie sur la cinématique.

[1] Source de l’illustration : https://fr.wikipedia.org/wiki/Exp%C3%A9rience_de_la_goutte_d’huile_de_Millikan

Dans le cas où la force résultante subie par un mobile varie rapidement, comme par exemple lors d’un choc, il est très difficile de déterminer des accélérations. On doit alors adapter les lois de Newton à l’aide du formalisme de la quantité de mouvement pour pouvoir expliquer les mouvements.

Voici par exemple ci-contre une série d’illustrations représentant ce qui se produit lors du choc d’une balle contre un mur. Au moment du choc (schéma 2), la force subie par la balle est exercée très brusquement.[1] Considérons une durée Δt suffisamment brève durant laquelle cette force reste constante. La balle subit alors une certaine accélération qui modifie sa vitesse, puisque . Dans ce contexte, la loi fondamentale de la dynamique peut donc également s’écrire sous la forme :  où le premier membre de l’égalité est appelée l’impulsion de la force et  la quantité de mouvement de la balle à un certain moment.

Si on observe à présent un choc entre une balle A et une balle B (voir la série d’illustrations ci-contre), le principe des actions réciproques énonce que où est la force exercée par la balle B sur la balle A et est la force exercée par la balle A sur la balle B. Il s’ensuit que l’impulsion exercée par la balle A est l’opposée de l’impulsion exercée par la balle B et donc : , ce qui signifie que lors de tout choc, la quantité de mouvement totale est conservée. Cela reste vrai quelle que soit la durée de l’action de la force, même si la force n’est pas constante, et même si le choc n’est pas élastique (si de l’énergie mécanique se transforme en énergie thermique par exemple).

Il résulte de ce qui précède que deux grandeurs fondamentales sont conservées lors de toute interaction dans un système fermé : la quantité de mouvement totale et l’énergie totale.[2]

Cela peut également s’écrire sous forme des énoncés suivants appelés les deux lois de conservation :

Notons que comme la quantité de mouvement est un vecteur, la première équation se décline en autant de sous-équations que de dimensions que possède l’espace considéré. Dans l’espace à trois dimensions, nous pourrons donc écrire trois équations : une par composante. Mais leur écriture dépasse le cadre de ce cours.

La deuxième équation, celle concernant l’énergie, est scalaire, et ne procure donc dans tous les cas qu’une seule équation, comme cela a déjà été étudié au cours de physique de 4^ème .

[1] On peut considérer la force exercée par le mur comme normale à la surface dans la mesure où on ne tient pas compte de la rotation de la balle sur elle-même. En réalité, une force parallèle à la surface est généralement exercée sur la balle qui en provoque la rotation. Une partie de l’énergie cinétique de translation se transforme alors en énergie cinétique de rotation. De plus, on peut considérer comme négligeable la force de pesanteur, dans la mesure où le choc est très brusque et provoque une accélération très grande, et qu’on ne s’intéresse qu’aux instants immédiatement avant et après le choc.

[2] On peut considérer que la masse est aussi conservée, dans la mesure où il n’y a pas d’effets relativistes, c’est-à-dire pas de conversion d’énergie en matière ou inversement.

Description du dispositif :

Deux billes de masse m sont attachées aux extrémités d’une tige de longueur 2D placée horizontalement. Cette tige est suspendue à un fin fil (fibre de quartz) en son milieu. Deux sphères de masse M sont placées à une distance d des billes, l’une devant celle de gauche, l’autre derrière celle de droite. Quand la tige horizontale est à l’équilibre, chaque bille subit, dans le plan horizontal, deux forces qui s’opposent :

• d’une part la force d’attraction gravifique  exercée par la sphère placée devant elle. Cette force est dirigée vers l’avant et son expression est F_G = GMm/d² ;
• d’autre part une force équilibrante  exercée par le fin fil. Cette force est dirigée vers l’arrière et son expression est F_E = GMm/d².

Détermination des forces :

A l’instant t = 0, on fait tourner le système des deux sphères pour placer la sphère de gauche devant la bille de droite, et celle de droite derrière la bille de gauche, de nouveau à une distance d des billes (voir les flèches vertes de l’illustration). Dès ce moment, la bille de gauche ne subit plus la force , mais bien une nouvelle force d’attraction gravifique  exercée par la sphère placée derrière elle. Cette force est dirigée vers l’arrière et son expression est également F’_G = GMm/d². En plus, la bille subit toujours la force du fil  de même valeur et dirigée aussi vers l’arrière. Juste après l’instant t = 0, la bille de gauche subit donc une force totale qui est la somme des valeurs des forces et  : F_totale = 2GMm/d² (1).

Détermination du mouvement de la bille :

Soit x le déplacement et a l’accélération de la bille de gauche. La loi fondamentale s’écrit

F_totale = m.a (2).

Si on supposant que la bille se déplace peu (on ne s’intéresse qu’au début du mouvement de la bille), on peut admettre en première approximation que F_totale reste constante, et donc que la bille fait un M.R.U.A. La position est donc : x = at²/2 , donc a = 2x/t².

En insérant cette valeur de l’accélération dans les équations (2), puis dans (1), et après simplification, on obtient : x/t² = GM/d² (3).

Détermination du mouvement du spot lumineux :

Un miroir est fixé à la tige horizontale sur lequel est projeté un faisceau lumineux qui s’y réfléchit. Le faisceau réfléchi forme une marque sur une toise située à une distance L du miroir. Si la tige tourne d’un angle α, le miroir et sa normale tournent du même angle.

La déviation δ du faisceau lumineux est telle que δ + r + i = r’ + i’ où i et r sont les angles d’incidence et de réflexion avant le mouvement, i’ et r’ ceux après le mouvement.

Comme i = r, i’ = r’, et i = i’ + α, on obtient δ = 2α (4).

Soit X la déviation du spot lumineux sur l’échelle. Comme les mouvements restent petit, la relation (4) peut s’écrire, par triangles semblables, X/L = 2x/D, et donc x = DX/(2L) . En remplaçant dans l’équation (3), et en isolant G, on obtient : G = kX/t² où k = d²D/(2LM).

En 4^ème, nous avons défini l’énergie potentielle gravifique d’un objet comme le travail de la force motrice permettant de monter l’objet à vitesse constante à une certaine hauteur, ce qui se traduisait par la relation : E_{pot. grav} = mgh. Cette loi ne peut être utilisée que pour de faibles altitudes, tant qu’on peut considérer la force à exercer, et donc l’accélération gravifique g, comme constantes.

Dans le cas général, les physiciens utilisent la loi : où :

• m et m’ sont les masses de deux objets en interaction (unité SI : 1 kg) ;
• r_A et r_B sont les interdistances initiale et finale entre les deux objets (unité SI : 1 m) ;
• W = E_pot,B – E_pot,A. est l’énergie potentielle gravifique gagnée par le système des deux masses quand leur interdistance passe d’une valeur r_A à r_B (unité SI : 1 J) ;

La démonstration de cette loi fait appel aux intégrales (voir cours de mathématiques de 6^ème).

Les physiciens définissent l’énergie potentielle gravifique de deux objets en interaction en posant arbitrairement que cette énergie est nulle quand les deux objets sont hors de portée l’un de l’autre, ce qui revient à poser E_pot,B = 0 quand la distance r_B tend vers l’infini.

On obtient alors l’expression suivante pour l’énergie potentielle gravifique d’un système de deux objets en interaction placés à une distance r l’un de l’autre : E_{pot. grav} = -Gmm’/r. Remarquons que la distance r ne peut pas descendre en dessous d’une valeur limite correspondant à la somme des rayons des deux objets (s’ils sont sphériques).

L’énergie de libération E_L , est définie comme le travail de la force motrice permettant de séparer complètement deux objets en interaction. On peut donc également la définir comme l’énergie à ajouter à l’énergie potentielle gravifique pour obtenir une énergie totale nulle, correspondant à la séparation complète entre les deux objets. L’énergie de libération vaut donc l’opposé de l’énergie potentielle gravifique : E_L = Gmm’/r.

Dans le cas d’un astre de masse M et de rayon r, on parle aussi de la vitesse de libération v_L qui est la vitesse à communiquer à n’importe quel objet se trouvant à la surface de l’astre, de telle manière à ce que l’énergie cinétique communiquée vaut l’énergie de libération. On obtient alors :  , ce qui donne la valeur de 11,2 km/s dans le cas de la Terre.

De manière générale, l’énergie totale d’un objet subissant l’attraction d’un astre s’écrit donc : E_tot = E_{pot. grav} + E_cin . Trois cas peuvent dès lors se présenter :

• E_tot < 0. Dans ce cas, l’objet n’aura jamais assez d’énergie cinétique pour s’éloigner complètement de l’astre : on dit que l’objet et l’astre forment un état lié. L’objet restera toujours prisonnier du champ gravifique de l’astre. C’est le cas de tous les satellites.
• E_tot = 0. Dans ce cas, l’objet a juste assez d’énergie pour s’éloigner complètement de l’astre. A ce moment, son énergie cinétique sera nulle.
• E_tot > 0. Dans ce cas, l’objet gardera toujours une énergie cinétique résiduelle, même quand il se sera complètement éloigné de l’astre : on dit que l’objet et l’astre forment un état non lié. L’objet fera éventuellement une incursion provisoire dans le champ gravifique de l’astre. C’est le cas de certaines comètes qui viennent d’autres régions de la Voie Lactée et ne s’approchent qu’une fois du Soleil, ou encore de sondes spatiales auxquelles on a donné suffisamment de vitesse pour qu’elles quittent le système solaire.